正文 第二十二章 節 傳奇共分享 文 / 照見五蘊皆
生命之中，不同的階段，你能夠和誰在一起，一起做些什麼事，這的確很重要。
特別是年輕時思想意識形成階段，好的老師和朋友，甚至能改變你的成長軌跡，決定你的人生成就。
雖然言羽從小非常貪玩，自控力極差，一提到打遊戲看電影什麼的立刻就忍不住想逃課，但是言羽對學習本身，也同樣極有興趣。
言羽身邊結識的，都是些極有趣的朋友，而且也不乏喜歡鑽研數理之人。
因為言羽發現，與其和那邊那些整天抱怨學習枯燥而又不想法改變現狀的同學一起抱怨人生窮困、哀歎學習痛苦，不如抽空多讀幾本好書、多做幾道數學題、多寫幾首小詩，或者和朋友多下幾盤棋、多打幾場球，甚至逃課出去多打幾局電子遊戲，所以他也慢慢放棄了一些喜歡打架鬥毆、不學無術的朋友，多結交了一些喜歡學習，志同道合的學友玩友。
比如言羽有一個好朋友，叫做萬敏，是外班的同學，數學極佳，兩人經常在奧校學習，一起打橋牌，一起參加數學比賽一起拿獎，是非常要好的朋友。還有一些其它喜歡數學也喜歡打橋牌的朋友，比如馬屁精，大家經常聚在一起，討論牌局，也討論數學問題。
言羽其實數學基礎不紮實，喜歡偷懶，喜歡投機取巧，一看到複雜的計算公式就頭疼，只喜歡尋找最簡單的算法也只記最簡單思路，不像萬敏，基礎極為紮實，在初中時就已經自學了高中甚至大學的一些數學知識。
但言羽的狗屎運很好，對數學有著特殊的直覺和靈感。比如有一次區上的數學競賽考試，其中一題超前了，考了高中才能學到的複數知識。言羽根本不懂題目講了些啥，但是對比四個選項的數字規律，用排除法和靈感就直接推出了正確選擇。下來一問才知道，萬敏和其它一些奧校同學都自學過複數，都認認真真一步一步計算，最後算出了結果。
言羽因為不懂複數而猜題，反而節約了時間，而那次考試中有很多言羽擅長的平面幾何題，所以雖然兩人都拿了一等獎，言羽的分數竟比萬敏的還高。
其實學數學是很枯燥乏味的，特別是冥思苦想也不得其解時，是很需要有朋友一起交流放鬆的。
生活就是這樣，總得從平淡乏味之中找到一點兒有意思的事，哪怕是在最煩悶最無趣的時候，也得學會自己找點兒樂子。
言羽無疑就是能自找樂子的高手，也很容易帶動別的同學一起尋找和創造歡樂。
而閱讀是一種修養，分享是一種美德。
即使是最為枯燥無趣的數學公式，最為晦澀難懂的文言古文，背後其實都隱藏著不少有趣的歷史故事，所幸有好的老師和知心的朋友，一一分享，教給了言羽許多精彩的知識，陪伴他度過了美好的學習時光，讓他在知識的海洋中自由徜徉，無比歡暢。
比如古代的三等分任意角、倍立方、化圓為方問題，是古希臘三大幾何問題，被並列為古代數學的三大千年難題。
公元前4世紀，托勒密一世定都亞歷山大城。他憑借優越的地理環境，發展海上貿易和手工藝，獎勵學術。他建造了規模宏大的「藝神之宮」，作為學術研究和教學中心；又建造了著名的亞歷山大圖書館，藏書75萬卷。托勒密一世深深懂得發展科學文化的重要意義，邀請著名學者到亞歷山大城，當時許多著名的希臘數學家都來到了這個城市。
亞歷山大城郊有一座圓形的別墅，裡面住著一位公主。圓形別墅中間有一條河，公主的居室正好建立在圓心處。別墅南北圍牆各開了一個門，河上建了一座橋，橋的位置和南北門位置恰好在一條直線上。國王每天賞賜的物品，從北門運進，先放到南門處的倉庫，然後公主再派人從南門取回居室。
一天，公主問侍從：「從北門到我的臥室，和從北門到橋，哪一段路更遠？」侍從不知道，趕緊去測量，結果是兩段路一樣遠的。
過了幾年，公主的妹妹小公主長大了，國王也要為她修建一座別墅。小公主提出她的別墅要修的像姐姐的別墅那樣，有河，有橋，有南北門。國王滿口答應，小公主的別墅很快就動工了，當把南門建立好，要確定橋和北門的位置時，卻出現了一個問題：怎樣才能使得北門到臥室和北門到橋的距離一樣遠呢？
已知南門位置為p，臥室（圓心）為o，設北門位置為q，橋為k，要確定北門的和橋的位置，關鍵是做出∠opq，設po和河流的夾角是a，可推出∠kpo=（180-2a）/3。
即只要能把180-2a這個角三等分，就能夠確定出橋和北門的位置了。
工匠們試圖用尺規作圖法確定出橋的位置，可是他們用了很長的時間也沒有解決。於是他們去請教阿基米德。
阿基米德用在直尺上做固定標記的方法，解決了三等分一角的問題，從而確定了北門的位置。但阿基米德是在尺上做了標記刻度，這在尺規做圖法中其實是不允許的。
這個故事提出了一個數學問題：如何用尺規三等分任意角，這個問題連阿基米德都無法解答。
後人把幾何問題轉換成代數語言：
一個平面作圖問題，前提總是給了一些平面圖形，例如，點、直線、角、圓等，而直線是由兩點決定的；一個角可由其頂點和每邊上取一點共三點決定；圓由圓心和圓周的一點決定；所以平面幾何作圖問題總可以歸結為給定n個點即n個複數z1，，zn(當然還有z0=1)。
尺規作圖過程也可以看作利用圓規和直尺不斷得到新的複數，所以問題就變成為：給了一批複數z0，z1，zn和z，能否從z0，z1，zn出發利用尺規得到複數z。
於是可給出如下遞歸定義：
定義：設s={z0=1，z1，zn}是n+1個複數，將
(1)z0=1，z1，zn叫做s-點；
(2)過兩個不同的s-點的直線叫s-直線，以一個s-點為圓心、任意兩個s-點之間的距離為半徑的圓叫s-圓；
(3)由s-直線與s-直線、s-直線與s-圓、s-圓與s-圓相交的點也叫s-點。
上面這個定義完全刻畫了尺規作圖過程，如果以p表示全體s-點的集合，那麼p也就是從s={z0=1，z1，zn}出發通過尺規作圖所得到的全部複數。
定理：設z1，zn(n≥0)為n個複數。設f=q(z1，zn，z1-，zn-)，(z-代表共軛複數)，那麼，一個複數z可由s={z0=1，z1，zn}作出的充要條件是z屬於f(u1，un)。其中u12屬於f,ui2屬於f(u1，ui-1)。換言之，z含於f的一個2次根號擴張。
系：設s={z0=1，z1，zn}，f=q(z1，zn，z1-，zn-)，z為s-點，則是2的方冪。
以下證明三等分任意角的不可能性，證明尺規作圖不能三等分60度角：
60度角即相當於複數z1=1/2+√3/2i。從而s={z0=1,z1}，f=q(z1,z1-)=q(√-3)。如果能作出20度角，當然也能得到cos20，但是cos20滿足方程4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由於8x3-6x-1在q中不可約，從而=3，於是
6===
由於==2，所以=3，根據上面的系可知cos20不是s-點，從而60度不可能三等分……
有一位古希臘人埃拉托色尼，博學多才，不僅通曉天文，而且熟知地理；又是詩人、歷史學家、語言學家、哲學家，曾擔任過亞歷山大博物館的館長。
他用簡單的測量工具計算出了地球的周長，他發現：離亞歷山大城約800公里的塞恩城（今埃及阿斯旺附近），夏日正午的陽光可以一直照到井底，因而這時候所有地面上的直立物都應該沒有影子。但是，亞歷山大城地面上的直立物卻有一段很短的影子。他認為：直立物的影子是由亞歷山大城的陽光與直立物形成的夾角所造成。從地球是圓球和陽光直線傳播這兩個前提出發，從假想的地心向塞恩城和亞歷山大城引兩條直線，其中的夾角應等於亞歷山大城的陽光與直立物形成的夾角。按照相似三角形的比例關係，已知兩地之間的距離，便能測出地球的圓周長。
埃拉托色尼測出夾角約為7度，是地球圓周角（360度）的五十分之一，由此推算地球的周長大約為4萬公里，這與實際地球周長（40076公里）相差無幾。
他還算出太陽與地球間距離為1.47億公里，和實際距離1.49億公里也驚人地相近。他還測出黃赤交角的二倍是圓周的11/83。這些都充分反映了他的智慧。
埃拉托色尼還是首先使用「地理學」名稱的人，寫成了三卷專著，描述了地球的形狀、大小和海陸分佈，並用經緯網繪製地圖，最早把物理學的原理與數學方法相結合，創立了數理地理學。他的《地理學》是把地理置於合理的數學基礎上的最早嘗試。
他還創造了一種素數篩選的普遍公式，稱為「埃拉托塞尼篩法」：
「要得到不大於某個自然數n的所有素數，只要在2——n中將不大於√n（根號n）的素數的倍數全部劃去即可」。
他對倍立方問題做過一定的研究，並製造出一種器械作圖方法，還記載了倍立方問題起源的故事：
倍立方問題的來源，可追溯到西元前429年，一場瘟疫襲擊了希臘第羅斯島(delos)，造成四分之一的人口死亡。島民們推派一些代表去神廟請示阿波羅的旨意，神指示說：
要想遏止瘟疫，得將阿波羅神殿中那正立方的祭壇加大一倍。
於是人們把每邊增長一倍，結果體積變成了8倍，瘟疫依舊蔓延；
人們又試著把體積變為原來的2倍，形狀卻變為一個長方體；
第羅斯島人在萬般無奈的情況下，只好鼓足勇氣到雅典去求救於當時著名的學者柏拉圖。
開始，柏拉圖和他的學生根據平面作一個正方形，使它的面積等於已知正方形的2倍很容易，類推認為這個倍立方問題也很容易。但結果卻難得超出他們想像。
其實這個問題，等價於對於任意定義的1用尺規做出三次根號2。簡單說因為尺規作圖只能做出有理數和有理數的2的n次方擴域，而含有三次根號2和有理數域的域對於有理數域的擴張次數肯定是三的倍數，不可能是2的n次方。所以尺規做不出三次根號二，也就完不成倍立方了……
而化圓為方難題，同樣有一個故事：
公元前5世紀，古希臘哲學家安那薩哥拉斯因為發現太陽是個大火球，而不是阿波羅神，犯有「褻瀆神靈罪」而被投入監獄，被判處死刑。
在等待執行的日子裡，夜晚安那薩哥拉斯總睡不著。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進牢房，使他對方鐵窗和圓月亮產生了興趣。他不斷變換觀察的位置，一會兒看見圓比正方形大，一會兒看見正方形比圓大。最後他說：「好了，就算兩個圖形面積一樣大好了。」
安那薩哥拉斯把「求作一個正方形，使它的面積等於已知的圓面積」作為一個尺規作圖問題來研究。起初他認為這個問題很容易解決，誰料他把所有的時間都用上，也一無所獲。
後經好朋友伯裡克利的多方營救，安那薩哥拉斯獲釋出獄。他把自己獄中所想的問題公佈出來，許多數學家對這個問題很感興趣，都想解決，可是一個也沒有成功。這就是著名的「化圓為方」問題。
其難度在於作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺（沒有刻度，只能作直線的尺）和圓規。化圓為方問題，實際上就是用直尺圓規作出線段π的問題。
1882年法國數學家林德曼證明了π是超越數，同時證明了圓為方問題是標尺作圖不可能的問題。因為十九世紀有人證明了若設任意給定長度單位，則標尺可作的線段長必為代數數。而化圓為方問題相當於求作長為√π的線段，但√π並非代數數，故此線段不可作。
而這些幾何問題，其實都可以轉換為代數方程問題。因直尺和圓不能做出一般的立方根，所以常常無解。
在十六世紀的歐洲，隨著數學的發展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多數學文獻上，為了紀念世界上第一位發表一元三次方程求根公式的意大利數學家卡爾丹諾，把三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」。
那麼，一元三次方程的通式解，是不是卡爾丹諾首先發現的呢？歷史事實並不是這樣。
事實上，中國南宋數學家秦九韶在1247年成書的數學巨著《數學九章》中就已經發表了一元三次方程的求根公式。
而西方數學史上最早發現一元三次方程通式解的人，其實是十六世紀意大利的另一位數學家尼柯洛?馮塔納（niccolofontana）。馮塔納出身貧寒，少年喪父，家中也沒有條件供他唸書，但是他通過艱苦的努力，終於自學成才，成為十六世紀意大利最有成就的學者之一，在多次方程大賽對戰中獲勝，甚至米蘭對決中以30：0完勝。由於馮塔納患有「口吃」症，所以當時的人們暱稱他為「塔塔裡亞」（tartaglia），也就是意大利語中「結巴」的意思。後來的很多數學書中，都直接用「塔塔裡亞」來稱呼馮塔納。
而卡爾丹諾雖然是剽竊馮塔納成果的人，但卻是第一個在西方公佈三次方程解的人，從人類知識分享的角度，他仍然算是一個功臣。
還有阿貝爾、伽羅瓦兩位曠世奇才的故事，也十分精彩，令人扼腕。