正文 第7節 文 / 艾薩克·阿西莫夫

    素數是這樣的整數，它除了能表示為它自己和１的乘積以外，不能表示為任何其它兩個整數的乘積。例如，１５＝３×５，所以１５不是素數；又如，１２＝６×２＝４×３，所以１２也不是素數。另一方面，１３除了等於１３×１以外，不能表示為其它任何兩個整數的乘積，所以１３是一個素數。

    有的數，如果單憑印象去捉摸，是無法確定它到底是不是素數的。有些數則可以馬上說出它不是素數。一個數，不管它有多大，只要它的個位數是２、４、５、６、８或０，就不可能是素數。此外，一個數的各位數字之和要是可以被３整除的話，它也不可能是素數。但如果它的個位數是１、３、７或９，而且它的各位數字之和不能被３整除，那麼，它就可能是素數（但也可能不是素數）。沒有任何現成的公式可以告訴你一個數到底是不是素數。你只能試試看能不能將這個數表示為兩個比它小的數的乘積。

    找素數的一種方法是從２開始用「是則留下，不是則去掉」的方法把所有的數列出來（一直列到你不想再往下列為止，比方說，一直列到１００００）。第一個數是２，它是一個素數，所以應當把它留下來，然後繼續往下數，每隔一個數刪去一個數，這樣就能把所有能被２整除、因而不是素數的數都去掉。在留下的最小的數當中，排在２後面的是３，這是第二個素數，因此應該把它留下，然後從它開始往後數，每隔兩個數刪去一個，這樣就能把所有能被３整除的數全都去掉。下一個未去掉的數是５，然後往後每隔４個數刪去一個，以除去所有能被５整除的數。再下一個數是７，往後每隔６個數刪去一個；再下一個數是１１，往後每隔１０個數刪一個；再下一個是１３，往後每隔１２個數刪一個。……就這樣依法做下去。

    你也許會認為，照這樣刪下去，隨著刪去的數越來越多，最後將會出現這樣的情況；某一個數後面的數會統統被刪去因此在某一個最大的素數後面，再也不會有素數了。但是實際上，這樣的情況是不會出現的。不管你取的數是多大，百萬也好，萬萬也好，總還會有沒有被刪去的、比它大的素數。

    事實上，早在公元前３００年，希臘數學家歐幾里得就已證明過，不論你取的數是多大，肯定還會有比它大的素數，假設你取出前６個素數，並把它們乘在一起：２×３×５×７×１１×１３＝３００３０，然後再加上１，得３００３１。這個數不能被２、３、５、７、１１、１３整除，因為除的結果，每次都會余１。如果３００３１除了自己以外不能被任何數整除，它就是素數。如果能被其它數整除，那麼３００３１所分解成的幾個數，一定都大於１３。事實上，３００３１＝５９×５０９。

    對於前一百個、前一億個或前任意多個素數，都可以這樣做。如果算出了它們的乘積後再加上１，那麼，所得的數或者是一個素數，或者是比所列出的素數還要大的幾個素數的乘積。不論所取的數有多大，總有比它大的素數，因此，素數的數目是無限的。

    隨著數的增大，我們會一次又一次地遇到兩個都是素數的相鄰奇數對，如５，７；１１，１３；１７，１９；２９，３１；４１，４３；等等。就數學家所能及的數來說，他們總是能找到這樣的素數對。這樣的素數對到底是不是有無限個呢？誰也不知道。數學家認為是無限的，但他們從來沒能證明它。這就是數學家為什麼對素數感興趣的原因。素數為數學家提供了一些看起來很容易、但事實卻非常難以解決的問題，他們目前還沒能對付這個挑戰哩。

    這個問題到底有什麼用處呢？它除了似乎可以增添一些趣味以外，什麼用處也沒有。

    碧聲註：一點用處也沒有嗎？……聽說在密碼方面很有用哩。