正文 除以零 文 / 特德·姜
１
任何數字除以零，都不會得出一個有意義的數字來。理由是除法被定義為乘法的逆轉：如果你先除以零，然後再乘以零，就會重新得到開始那個數字。然而，乘以零只會得出零，不會得出任何別的數字。沒有任何數字乘以零會得出非零的結果。因此，除以零的結果實際上是無意義的。
１a
裡瓦斯太太進來的時候，雷內正望著窗外。
才待了一個星期就要出院嗎？連真正的待都談不上。老天知道，我可是非得長期待下去不可。
雷內強作笑臉說：我肯定你不會待很久的。裡瓦斯太太愛在病房裡指手畫腳。大家都知道她的所作所為不過是做做姿態而已，但醫生助手們對她還是留了點神，以免她偶然成功。
哈。他們倒巴不得我走。你知道如果你死在醫院裡，他們會負什麼責任嗎？
知道
可以肯定這就是他們所擔心的。始終是他們的責任
雷內沒有理睬，目光又重新轉向窗外，眺望一道煙霧橫過天空。
諾伍德太太？護士叫道，你的丈夫來接你了。
雷內又向裡瓦斯太太嫣然一笑，然後離開了。
１b
卡爾再次簽了名字，最後護士把表格拿去處理。
他記得他送雷內來住院時的情景，並且想起在第一次詢問時那些老套的問題。當時，他耐著性子，一一回答。
是的，她是一名數學教授。你在《名人傳記》裡可以找到她的名字。
不對，我是搞生物學的。
以及：
我留下了一盒我需要的載物玻璃片。
不，她不可能知道。
還有他預料中的問題：
得過。那是大約二十年前我讀研究生的時候。
不，我是試圖跳樓。
不，當時我和雷內還不相識。
如此等等，等等。
此時，他們確信了他能幹可靠，便準備讓雷內出院，接受門診治療。
驀然回首，卡爾心不在焉地覺得有點吃驚。在整個詢問期間，除了短暫的一刻外，他沒有絲毫似曾相識的錯覺。和醫院、醫生、護士打交道的過程中，他的惟一感覺是麻木，是枯燥無味，是機械重複。
２
有一個著名的證明，得出一等於二：該證明的開始是定義：假設a=１；假設b=１，得出結果：２=２a１，也就是說，一等於二。人們容易忽視的是，這個證明過程中將零作為被除數。在這一點上，該證明越過了雷池，使所有的法則都徹底無效。允許除以零，就是允許證明不僅一和二是相等的，而且任何兩個數字無論是是真實的還是想像的，無論有理數還是無理數都是相等的。
２a
雷內和卡爾一回到家裡，她就立刻走進書房，來到書桌面前，開始將她的所有手稿翻轉過去，面朝下，一股腦兒掃成一堆。折騰期間，每當有一頁紙面朝上，她就會情不自禁地退縮。她想乾脆一把火把書稿燒了，但那樣做只有象徵意義。其實，只要根本不瞧它們一眼，效果是一樣的。
醫生也許會把這種舉止描敘成自我強迫性行為。雷內想起先前自己作為病人在這些傻瓜的監護下所受到的屈辱，不禁皺起眉頭。她想起自己作為有自殺念頭的病人，被鎖在病房裡，受到醫生助手們二十四小時的監護，還要接受醫生的詢問。他們一副屈尊的派頭，說的話枯燥又乏味。她不像裡瓦斯太太，不會玩弄伎倆。其實那些伎倆很簡單，只要說，我知道自己還沒有康復，但感覺好些了。他們就會認為你差不多可以放出去了。
２b
卡爾站在門口注視雷內片刻，這才走過門廊。他回想起整整二十年前，他自己被放出來那天的情景。他的父母驅車來接他，在回家的途中，母親嘮叨了一些空洞無物的話，什麼大家見到他會多麼高興呀等等。他竭力抑制住自己，才沒有掙脫母親抱著他肩膀的手臂。
他為雷內做的一切，正是他自己在被監護期間想接受的。儘管最初她拒絕見他，他還是每天都上醫院來，以便她想見他時，他在身邊。他們倆有時候交談，有時候只是在醫院裡散散步。他沒有發現自己做的一切有什麼過錯，而且他知道，她很高興他這麼做。
他確實做了種種努力，但他只感覺在盡義務而已。
３
伯納德羅素２和艾爾弗雷德懷特海３在其合著的《數學原理》中試圖將形式邏輯作為數學的嚴謹基礎。這部大作以他們所認為的公理開始，推演出愈來愈複雜的定理。到了第３６２頁，他們已經建立了足夠的定理，終於證明了１+１=２。
３a
七歲那年，雷內察看一個親戚的房子，她著迷似的發現地板上鋪的光滑的大理石地磚呈完美無瑕的正方形。一個一行，兩個兩行，三個三行，四個四行：地磚拼成正方形。無論你從哪面瞧去，形狀都一樣。更奇妙的是，每一個正方形都比最後一個正方形多出呈奇數的地磚。雷內獲得了頓悟。結論很自然：這種形式具有一種內在的完美，由地磚那光滑、清涼的感覺所證實。還有，地磚彼此拼接，之間的線條嚴密得天衣無縫。她為這種精確性激動得渾身顫抖。
在往後的歲月裡，她又獲得了其他頓悟、其他成就。二十三歲就完成令人驚歎的博士論文，寫的系列論文好評如潮。人們將她比做諾伊曼４，大學競相籠絡她。而她自己對這一切向來並不在意。她在意的是那種完美的感覺，她學到的每一個定理都具有這種完美，與地磚一樣實在，一樣精確。
３b
卡爾覺得今日的他是在與勞拉相識之後才誕生的。他出院後閉門不見任何人，但一位朋友設法把他介紹給勞拉。最初，他將她拒之門外，但她理解他。他身心俱疲時她愛他，一旦他康復後，她又讓他自由。通過認識她，卡爾懂得了什麼叫感應他人的心靈。他脫胎換骨了。
勞拉獲得碩士學位後繼續深造，與此同時卡爾也在大學攻讀生物學博士學位。後來，他飽受各種精神危機和心臟疾病，但再也沒有絕望過。
一想到勞拉這種人，卡爾就驚羨不已。自從讀研究生以來，他就沒有和她交談過，這些年來她的生活怎麼樣？不知她愛上了什麼人？他很早就認識到了這種愛是什麼，不是什麼。他對這種愛無比珍視。
４
十九世紀初葉，數學家們開始探索不同於歐幾里得幾何的幾何學。這些新幾何學得出了似乎荒謬的結果，但在邏輯上卻沒有矛盾。後來證明，非歐幾何是與歐幾里得幾何學一致的相關學問，只要歐幾里得幾何學在邏輯上沒有矛盾，非歐幾何也就沒有矛盾。
但要證明歐幾里得幾何學的一致性，這可難倒了數學家們。到了十九世紀末葉，所取得的成就至多證明：只要算術在邏輯上沒有矛盾，那麼，歐幾里得幾何學就沒有矛盾。
４a
開始的時候，雷內只覺得這是個有點惱人的小麻煩。當時她走下大廳，敲敲彼得法布裡希辦公室敞開的門。彼得，有空嗎？
法布裡希將座椅從辦公桌往後推開。當然有空，雷內，什麼事？
雷內走進去，心裡知道他會有什麼反應。以前她從來沒有向系裡任何人請教過問題，都是別人向她請教。沒有關係。我想請你幫個忙。幾周前我曾告訴你我正在研究的體系，還記得嗎？
他點了點頭，你想用這個體系來改寫公理系統。
正確。是這樣的，幾天前我開始得出十分可笑的結論，到現在我的體系也自相矛盾起來。請你看一看，好嗎？
法布裡希的表情在意料之中。你想當然可以，我很高興
太好了。問題就出在頭幾頁的例子裡，其餘的供你參考。說著她遞給他薄薄的一扎手稿，我覺得如果讓我給你從頭到尾講一遍的話，你可能會受我的引導，只能得出和我相同的結論。
也許你說得對。法布裡希瞧了瞧頭幾頁，我不知道要多久才能看完。
不著急。如果有機會的話，只是看一看我的假設是否有模糊之處，諸如此類的問題。我還會繼續研究的，到時候會告訴你我是否想出了新東西。好嗎？
法布裡希微笑道：你準會今天下午就來，告訴我你已經發現了問題。
恐怕不會，這個問題需要我之外的另一副眼光。
他攤開雙手。我試試吧。
謝謝。法布裡希不大可能充分理解她的體系，但她只需要某個人來檢查公式的細節問題就行了。
４b
卡爾是在一位同事舉行的一次聚會上與雷內相識的。他被她那張臉吸引住了。那是一張異常平庸的臉，大多數時間不苟言笑，但在那次聚會期間他看見她微笑了兩次，皺了兩次眉。看她笑時覺得她不會皺眉，看她皺眉時又覺得她不會笑。卡爾很吃驚：他能夠辨認出什麼樣的臉經常微笑，什麼樣的臉經常皺眉。但是對她那張臉，他卻捉摸不透。
他花了很長一段時間來瞭解雷內，讀懂她的表情。不過，這無疑是值得的。
此時，卡爾坐在書房裡的安樂椅上，膝蓋上放著一本最新一期的《海洋生物學》雜誌，傾聽雷內在客廳對面她自己的書房裡揉皺紙張的沙沙聲。整個晚上她都在工作，可以聽出她愈來愈焦躁不安。不過他進去察看時，她又板著平時那張沒有表情的臉，絲毫看不出什麼來。
他將雜誌放到一邊，再次起身走到她的書房門口。只見書桌上攤開一冊書，書頁上佈滿難以辨識的公式，點綴著用俄語寫的評注。
她瀏覽著一些資料，難以覺察地皺皺眉，啪的一聲合上。卡爾聽見她嘀咕一聲無用，將書放回書架。
這樣下去你會弄出高血壓的。卡爾取笑道。
別以我的保護人自居。
卡爾吃了一驚，我沒有。
雷內轉身瞧著他，怒目相對。我知道自己什麼時候工作有效率，什麼時候沒有。
心一涼。那麼，我就不打擾你了，他退了出去。
謝謝說完，她的注意力又回到書架上。卡爾離開了，心裡竭力猜測她的瞪視的含義。
５
在１９００年舉行的國際數學大會上，大衛希爾伯特５列出了二十三個懸而未決的重大數學問題。他列出的第二大問題是請證明算術在邏輯上的一致性。這個問題一旦證明，就將保證高等數學許多內容的一致性。就本質而言，這個證明所能保證的是這一點：不可能證明一等於二。認為這個問題具有重大意義的數學家寥寥無幾。
５a
法布裡希還沒有開口，雷內就知道他要說什麼了。
簡直是我見過的最要命的東西。還不大會走路的幼兒玩的玩具是把不同斷面的積木嵌進不同形狀的槽子，你知道嗎？讀你的形式體系，就好像觀看一個人把一塊積木滑進木板上的每一個洞裡，每一次都做得天衣無縫。
這麼說來，你發現不了錯誤？
他搖搖頭。發現不了。我滑進了和你相同的套路：只能用你的方法思考這個問題。
雷內卻已經不在老套路上了：她另闢蹊徑，想出了一條截然不同的路子來解決這個問題，但卻僅僅證明了原先的體系確實存在矛盾。不過，還是謝謝你費心了。
你要另外找人看一看嗎？
是的。我想我要寄給伯克利的卡拉漢看。自去年春天那次會議以來，我們一直保持著聯繫。
法布裡希點了點頭，他上次發表的一篇文章真的給我留下很深的印象。如果他發現了問題，請一定告訴我。我感到很好奇。
雷內寧願用比好奇更強烈的字眼來表達她自己的心情。
５b
雷內對自己的研究感到絕望了嗎？卡爾知道她從來不覺得數學真的困難，而只是一種智力挑戰。難道是她第一次遇到無法突破的難題嗎？或者說，數學本身就是無解的嗎？嚴格說來，卡爾自己是一個實驗主義者，並不真正懂得雷內怎麼創造新的數學體系。雖說聽上去有點傻，但是她是靈感枯竭了嗎？
雷內是成年人，不會像神童那樣，發現自己正在成為平庸的成年人而感到幻滅的痛苦。另一方面，許多數學家在三十歲之前就達到事業的巔峰。雖然她離三十歲還有幾年，但也許她對這個年齡界限逼近自己而感到焦慮。
似乎不大可能，他又漫無邊際地想了其他幾種可能性。她會不會對學術感到愈來愈悲觀？是對自己的研究過於專業化而感到悲哀嗎？再不然，純悴是對自己的工作感到厭倦了嗎？
卡爾並不相信這些焦慮是雷內行為古怪的原因。果真是這樣的話，他覺得自己肯定會發現蛛絲馬跡。但他現在得到的印象卻全然不是這麼回事。令雷內感到苦惱的無論是什麼，反正他猜不透。這使他感到煩惱。
６
１９３１年，庫特哥德爾６證明了兩大定理。第一個定理實際上表明：數學包含或許是真實的、但在本質上卻無法證明的陳述。甚至簡單如算術的形式系統也可以包括精確，有意義，而且似乎真實無疑的陳述，但卻無法用形式方法加以證明。
他的第二個定理表明：斷言算術具有邏輯上的一致性，這就是上面所說的那種陳述之一，採用算術公理的任何方法都不能證明其真實性。也就是說，作為一種形式系統的算術無法保證不會得出１=２這樣的結果。這樣的矛盾也許永遠不會遇到，但卻無法證明絕對不會遇到。
６a
卡爾再次走進雷內的書房。她站在書桌跟前，抬頭看他。他鼓起勇氣說：雷內，顯然是
她打斷她的話，你想知道我煩惱的原因嗎？好吧，我告訴你。說著雷內便拿出一張白紙，坐在書桌跟前，等一下，這需要一點時間。卡爾又張開嘴，但雷內揮手示意他保持沉默。接著，她深深地吸了一口氣，開始寫起來。
她畫了一條線，穿過紙的中央，將紙分成兩欄。然後，她在一行的頂部寫下數字１，另一行的頂部寫下數字２。接著在這兩個數字下面迅速潦草地畫一些符號，又在這些符號下面的行列裡把它們擴展成一串串別的符號。她邊寫邊咬牙切齒，寫下那些文字時，感覺好像她正用指甲刮過黑板似的。
寫到紙的三分之二左右時，雷內開始將長串長串的符號減少成連續的短串符號。她心裡想，現在要到關鍵處了。她意識到自己在紙上用力過重了，下意識地放鬆握在手中的鉛筆。在她下面寫出的那一行上，符號串變成相等了。接著，她重重地寫了個=號，橫過紙的底部中心線。
她將紙遞給卡爾。他望著她，表示看不懂。看一看頂部吧。他照辦了，再看一看底部。
他眉頭緊鎖。我還是看不懂。
我發現了一種體系，可以使任何數字等於任何別的數字。這張紙上就證明了一和二是相等的。你隨便挑兩個數字，我都可以證明它們是相等的。
卡爾似乎竭力在回憶什麼。裡面肯定出現了以零為被除數的情況，對嗎？
不對。沒有不符合規則的運算，沒有不嚴謹的術語，沒有想當然假定的獨立公理，全都沒有。證明過程絕對沒有採用任何規則禁止的東西。
卡爾搖了搖頭。等一下。顯然一和二是不相等的。
但在形式上它們是相等的：證明就在你手裡。我使用的一切方法都是絕對無可爭議的。
但這兒不就是矛盾嗎？
說對了。也就是說，算術作為一種形式系統，是不一致的。
６b
你找不出錯誤來，這就是你的意思嗎？
不對，你沒有聽。你以為我是因為這種情況才焦頭爛額的嗎？證明本身並沒有錯誤。
你的意思是說，用的方法都是對的，結果卻出了錯？
正確。
你肯定他戛然而止，卻太晚了。她瞪著他。她當然清楚他想說的是什麼。不知她的目光是什麼意思。
你懂嗎？雷內道，我已經推翻了大半個數學：這門學問全都沒意義了。
她焦躁起來，幾乎快發瘋了。卡爾小心翼翼地選擇著字眼，你怎麼能這麼說？數學仍然有作用。科學和經濟並不會因為你這個領悟而突然崩潰的。
這是因為他們使用的數學純粹是騙人的把戲。是一種口訣式的小玩意兒，跟用指關節來計算哪些月份有三十一天一樣。
不一樣。
為什麼不一樣？現在，數學與現實絕對毫無關係。且不說像虛數或者無窮小數之類的概念，現在，就連該死的整數加法都跟用指頭計算毫無關係。你用指頭計算，一加一始終等於二，但在紙上我可以給你無窮多的答案，這些答案全都同樣有效，這意味著它們全都同樣無效。我可以寫出你見過的最優美的定理，但它卻不過是一個瞎扯淡等式。她苦笑起來，實證主義者曾經說一切數學都是同義反覆。他們錯了：數學是自相矛盾。
卡爾試了試另一種方式。等一下。剛才你提到虛數這類想像出來的概念，大家不也一樣接受了嗎？現在不也可以這樣嗎？數學家們曾經相信虛數沒有意義，可是現在它們成了數學的基礎概念。情況完全是一樣的呀。
不一樣。當時的解決方法只是擴展語境，用在這裡不起作用。虛數給數學增添新的內容，而我的形式系統卻是給已經存在在那裡的東西下定義。
但是，如果你改變語境，從不同的角度探索
她翻了個白眼。不可能！這個體系是從和加法一樣明白無誤的公理得出的結果，無法繞過。我可以擔保。
７
１９３６年，格哈德根茨恩提出了一種對算術一致性的證明，可是要做出證明，他需要採用一種有爭議的方法，即人們所知道的超限歸納法。這種方法不屬於正常的證明方法，因此似乎難以恰當地保證算術的一致性。根茨恩所做的是使用可疑的方法來證明顯而易見的東西。
７a
卡拉漢從貝克利大學打電話來說他也不能雪中送炭，但表示願意繼續研究她的論文，似乎她觸及到了某種本質的、而又令人不安的東西。他想知道她是否打算發表她的形式體系，因為這個形式體系雖然的確包含他們兩人都無法發現的錯誤，但數學界肯定會有人能夠發現的。
雷內幾乎沒有聽見他說話，只是嘀咕今後她會打電話聯繫他的，近來，她與人講話很困難，尤其是自從那次與卡爾爭論以來，情況更糟糕。系裡的同事們都盡量避開她。她顯得心不在焉，前一天夜裡她做了一個噩夢，夢見她發現了一種形式體系，可以使她將主觀概念轉換成數學語言，然後，她證明了生與死是相同的。
有一種可能性讓她十分驚恐：她正能正在失去理智。她肯定在失去清晰的思維，這與失去理智已經相差無幾了。
她責備自己，你是一個多麼可笑的女人。哥德爾證明他的不完全定理後自殺了嗎？
但是，哥德爾的定理是優美的，讓人肅然起敬，是雷內所見到的最優美的一個定理。
而她自己的證明卻嘲諷她，譏笑她。就好像謎題書中的一道難題，它說：這下我可把你難住了。你跳過這個錯誤，查看自己在哪兒出了問題，結果繞了一圈又兜回來，那個難題再一次對你說：又把你難住了。
她估計卡拉漢會考慮她的發現對數學的意義。數學的許多內容並沒有實際用處，她的理論也可以僅僅作為一種形式而存在，研究它只是為了它包含的智力美。但這是不能持久的。自相矛盾的理論實在太無意義了，絕大多數數學家只會厭惡地置之不理。
使雷內真正感到惱火的是她自己的直覺出賣了她。那個該死的定理大有道理。它以自己怪異的方式，給人一種感覺，它是正確的。她理解它，知道它是真實的，並且相信它。
７b
想到她生日那天的情景，卡爾微笑起來。
我不相信！你怎麼可能知道？她手裡抱著一件毛衣，跑下樓來。
去年夏天，他們倆在蘇格蘭度假。愛丁堡一家百貨商店有一件毛衣吸引住了雷內的眼光，但當時她沒有買。於是他訂購了這件毛衣，放在她的梳妝台抽屜裡，等那天早晨給她一個驚喜。
你這個人太容易被人一眼識破了。他取笑她。夫妻倆都知道這話不是真話，但他還是喜歡這樣告訴她。
那是兩個月前的事情了。差點兩個月。
現在情況不同了，需要改變一下做法。卡爾走進雷內的書房，發現她坐在椅子上，眺望窗外。猜一猜我為我們倆搞到了什麼？
她抬起頭來。什麼？
週末預訂。在比爾特莫爾訂了一套房間。我們可以放鬆放鬆，什麼都不做
請別說下去了。雷內說，卡爾，我明白你的心意。你想我們做點愉快的事情，好讓我散散心，不去想這個形式體系。但不起作用。你不知道這個對我究竟是什麼樣的壓力。
算了吧。算了吧。他拉住她的手，想把她從椅子上拉起來，可是她掙開了。卡爾稍站片刻，突然她轉過身來，死死盯著他。
我想吃安眠藥，這你知道嗎？我幾乎希望自己是一個白癡，用不著去思考形式體系。
他大吃一驚，不知道說什麼好。你至少可以試試離開一段時間，為什麼不呢？有益無害呀，說不準會分散你的心思呢。
沒有什麼可以使我分散心思。你不明白。
那就解釋給我聽吧。
雷內呼出一門氣，轉身想了一下。就好像我看見的一切都在向我大喊大叫那個矛盾。她說，現在我一直在給不同的數字列等號。
卡爾陷入了沉默。突然間，他懂了。這就好像面對量子力學問題的古典物理學家們。彷彿你一直相信的理論給取代了，而新的理論又沒有意義，但不知怎麼回事，所有證據卻都支持這種新理論。
不對，壓根兒不是那麼一回事。她幾乎對他的說法嗤之以鼻，這與證據沒有絲毫關係；這完全是先驗的。
怎麼不同？你的推理和證據之間互相矛盾，這不正是你的問題嗎？
基督呀，你在開玩笑嗎？我測算一和二相等，現在我的直覺也告訴我它們相等。我的腦子裡再也無法保持不同數量的概念了，它們對我來說全都是相同的。
你不是這個意思吧。他說，事實上誰也不可能經歷這種事情。
你怎麼知道我能夠經歷什麼呢？
我在盡力去理解。
別操那份心了。
卡爾失去了耐心。那好吧。說著他走出屋子，取消了預訂。
從那之後，夫妻倆彼此寡言少語，只有必要時才說話。三天後，卡爾忘記帶他需要用的一盒幻燈片，便驅車回家取，回到家裡發現桌子上有一張妻子的留言條。
在接下來的時刻裡，卡爾產生了兩個直覺。他飛奔穿過房子，邊跑邊納悶她是否從化學系搞到了氰化物。就在這時，他產生了第一個直覺：他意識到因為不明白什麼原因導致她做出這種事，所以對她沒有什麼同情之類的感受，沒有任何感受。
當他一邊猛敲臥室門，一邊向屋裡的她吼叫的時候，他產生了第二個自覺：感受到一種記憶錯覺。這種情形似曾相識，卻又逆反得荒謬。他記得自己曾經待在一座建築物房頂一道鎖著的門內，聽見一位朋友在外面一邊猛力敲門，一邊向他吼叫別尋短見。此刻他站在臥室門外，聽見她羞愧地癱倒在地板上哭泣，與他當年待在門裡面時的情形毫無二致。
８
希爾伯特曾經說過：如果連數學思維都有缺陷，我們還能在哪裡找到真理與正確呢？
８a
雷內暗自納悶：她自殺未遂會給自己的一生蒙上陰影嗎？她的目光對準躺在書桌上的論文的角落。從此以後，人們也許會無意識地把她視為行為反覆無常嗎？她從來沒有問過卡爾他是否也有過這種焦慮感，也許是因為不願對他提起他當年自殺的事。那是發生在多年以前的事了，如今，任何見到他的人都會立刻知道他是一個健全的人。
然而，雷內卻不能說自己是個健全的人。眼下，她不能理性地討淪數學，而且不敢肯定將來她是否能夠恢復理智。現在，如果她的同事見到她，會不會說她喪失了數學才華？
雷內做完案頭的工作，離開書房，走進起居室。她的形式體系傳遍數學界後，將徹底動搖根深蒂固的數學基礎，但是只有少數人會受到她這樣的影響。大多數人會像法布裡希一樣，機械地理解她的證明，被它折服，但僅此而已。會幾乎同她一樣感受深切的人只是那些能夠真正領會其中的矛盾，能夠憑直覺感知這種矛盾的人。卡拉漢就是其中的一位。她心想，隨著時間的推移，不知他會如何對付這個矛盾。
雷內用手指在鋪滿茶几的灰塵上畫了一條曲線。如果是在以前，她可能會確定曲線的參數，檢查曲線的一些特點。而現在這一切似乎都毫無意義了。她的想像力簡直崩潰了。
她同許多人一樣，以前一直都以為數學並不從宇宙那裡獲得意義，而是賦予宇宙以意義，物理實體彼此無所謂大或者小，無所謂相同或者不相同，它們純粹是存在，數學是完全獨立的，但它實際上賦予物理語義，提供範疇和關係。它並不描述任何內在的品質，僅僅提供一種可能的闡釋。
然而，這一切都不復存在了。數學一旦從物理實體分離出來，就不一致了，而一種形式理論如果不一致，則就毫無意義。算術是經驗主義的，僅此而已，引不起她的任何興趣。
那麼，現在她改行幹什麼呢？她知道曾經有個人放棄學術研究去賣手工皮革製品。她需要一段時間重新找回自我。而這正是卡爾一直努力幫助她做的。
８b
卡爾的朋友中有兩個女人，叫做馬琳和安娜，她們倆是知心朋友。幾年前，馬琳曾經想自殺，她並沒有尋求安娜的救助，而是求助於卡爾。有幾次，他和馬琳坐在一塊，通宵達旦，或若促膝談心，或者默默相視。卡爾知道安娜一直對他和馬琳之間的心靈相通有一點兒嫉妒。他究竟又有什麼奧妙，能走進馬琳的心靈，對此安娜一直感到納悶。其實答案很簡單。這就是同情對方與感應對方心靈之間的差異。
卡爾一生不止一次在類似的情況下給予他人安慰。不用說，他為自己能夠幫助他人感到高興，但還不止這個。他覺得替別人設身處地，把自己當作另一個人，這種感覺很好。
迄今為止，他一直有理由認為富有同情心是他性格的底色。他珍視這一點，覺得自己如果不能感應他人就一無是處。可是，現在他卻遭遇到他前所未遇的事情，在這件事面前，他平時的本能不起任何作用了。
如果有人在雷內的生日那天告訴他，兩個月後他就會有這種感覺，那麼他只會一笑置之。當然，這種事情會在幾年後發生，卡爾知道時間的力量。可是兩個月？
結婚六年後，卡爾對雷內的愛淡漠了。他憎惡自己有這個想法，但事實是她變了，現在他既不理解她，也不知道如何設身處地替她著想。由於雷內的精神生活和情感生活交織在一塊，密不可分，因而她的情感生活令他不可捉摸。
隨之而起的是自我寬恕的條件反射。他這樣想：你不可能要求別人在任何危機中始終如一地支持你。如果一個人的妻子突然患了精神病，那麼丈夫離開她是一種罪惡，但卻是情有可原的。廝守在妻子身邊就意味著接受一種不同的關係，這種關係並非適合每一個人，所以卡爾絕不譴責這種處境下的任何人。然而，始終存在一個沒有提出來的問題：我怎麼辦？而他的回答始終是：我要待下去。
偽君子。
最糟糕的是，他曾經也有過同樣的遭遇。他曾經沉浸在自己的痛苦裡，他曾經折磨過別人的忍耐力，有人始終如一地呵護他。他離開雷內是不可避免的，但那將是一種他永遠不可寬恕自己的罪惡。
９
阿爾伯特愛因斯坦曾經說過：只要數學定理描述現實，它們就不是確定的；只要它們是確定的，就不描述現實。
９a＝９b
卡爾在廚房裡剝豆子準備晚餐這時候，雷內走進來說：可以和你談一下嗎？
沒問題。於是夫妻倆坐在餐桌旁。她故意眺望窗外：這是她即將開始嚴肅談話時的習慣。他突然對她要說什麼害怕起來。在她完全康復之前他並不打算告訴她他要離開，而她康復需要幾個月的時間。現在還為時過早。
我知道我們一直沒有明說
別，他暗自祈禱，別說出來、請別說。
不過，有你守在我身邊，我真的十分感激。
一針見血，卡爾閉上眼睛。謝天謝地，雷內依然望著窗外。情況會變得非常、非常難辦。
她仍然在說。一直縈繞在我腦際的東西她停頓了一下，絲毫不像我所想像的一切。如果那是常見的抑鬱，我知道你會理解的，而且我們可以對付。
卡爾點了點頭。
可是，情況是這樣的，我幾乎像一個在證明並不存在上帝的神學家。我並不只是存在這種擔心，而是知道這是事實。這聽起來很荒唐嗎？
不。
這是一種我無法向你表達的情感。這曾經是我深信不疑的東西，但現在它卻不是真實的，而且還是我證明出來的。
他張開嘴想說他完全明白她的意思，他與她有同樣的感受。但他沒有說出來。因為這種感應將使他們分離，而不是凝聚在一起，所以他不能告訴她。
１原文如此，作者對這個著名的證明推導可能有誤。原證明步驟為：ａ＝ｂａ２＝ｂ２ａ２－ｂ２＝ａｂ－ｂ２（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ｂ（ａ－ｂ）ａ＋ｂ＝ｂ２ｂ＝ｂ２＝１。編者注
２伯納德羅素（１８７２∼１９７０），英國哲學家、數學家、數理學家，獲１９５０諾貝爾文學獎。
３艾爾弗雷德懷特海（１８６１∼１９４７），英國哲學家、數學家。
４諾伊曼（１９０３∼１９５７），美國數學家，對數學邏輯、離子物理以及高速計算機的發展均有貢獻。
５大衛希爾伯特（１８６２∼１９４３），德國數學家，發展了有關不變量的數學。
６庫特哥德爾（１９０６∼１９７８），生於奧地利的美國數學家、邏輯學家。
後記
有一個著名的公式：ei+１＝０。第一次意識到這個公式可以推導出什麼來時，我吃驚得合不攏嘴。讓我詳細解釋一下：
我們最推崇的是這樣的小說結尾：出乎意料，卻又無可避免。當然，我們也知道，所謂無可避免，其實並不真的是無可避免，只是由於作者的才能，我們才覺得這種結局無法避免。
再回頭看看上面這個公式。它才是真正的出乎意料。你很可能會無數次擺弄e、和i的值，卻意識不到其中的機關。在這種情況下，你就會覺得這個公式真的是無可避免的，它只能這樣，這時你就會產生一種敬畏，好像你突然發現了一個絕對真理。
今後，也許會有人證明數學其實並不具備人們一直相信它具備的一致性，所謂數學的美只是虛幻。在我看來，世間再沒有比這種事更煞風景的了。
（王榮生譯）