正文 十、黑洞的量子力學 文 / 史蒂芬·霍金
本世紀的最初三十年出現了三種理論，它們激烈地改變人們對物理和實在本身的觀點。物理學家們仍然在探討它們的含義以及嘗試把它們調適在一起。這三種理論是狹義相對論(1905年)、廣義相對論(1915年)以及量子力學理論(大約1926年)。阿爾伯特-愛因斯坦是第一種理論的主要創建者，是第二種理論的單獨創建者，並且在第三種理論的發展中起過重要的作用。因為量子力學具有隨機的和不可確定性的因素，所以愛因斯坦從未接受它。他的態度可用他經常被引用的「上帝不玩弄骰子」的陳述來總結。然而，由於不管是狹義相對論還是過子力學都能夠描述可被直接觀察的效應，所以絕大多數物理學家欣然同意，接受它們。而另一方面，由於廣義相對論似乎在數學上過於複雜，不能在實驗室中得到檢驗，而且是似乎不能和量子力學相協調的純粹經典的理論，所以它在大部分場合沒有受到理會。這樣，在幾乎半個世紀的歲月裡，廣義相對論一直處於沉悶的狀態。
[15]作者註：此文於1977年1月發表在《科學美國人》上。
從本世紀六十年代初開始的天文觀測的偉大擴展，發現了許多新現象，諸如類星體、脈衝星和緊致的X射線源。這一切表明非常強大的引力場的存在，這種引力場只能由廣義相對論來描述，所以對廣義相對論的經典理論的興趣又被重新喚起。類星體是和恆星相似的物體，如果它們處於由它們的光譜的紅化所標誌的那麼遙遠的地方，則必須比整個星系還要亮好幾倍。脈衝星是超新星爆發後快速閃耀的殘餘物，它被認為是超密度的中子星。緊致的X射線源是由外空飛行器上的儀器所揭示的，也可能還是中子星或者是具有更高密度的假想的物體，也就是黑洞。
物理學家在把廣義相對論應用到這些新發現的或者假想的物體時，所要面臨的一個問題是，要使它和量子力學相協調。在過去的幾年中有了一些發展，使人們產生了一些希望，也就是不必等太久的時間我們將獲得一種完全協調的量子引力論，這種理論對於宏觀物體和廣義相對論相一致，而且可望避免那種長期折磨其他量子場論的數學上的無窮大。這些發展就是最近發現的和黑洞相關的某些量子效應，它們為在黑洞和熱力學定律之間提供了令人注目的聯結。
讓我簡述一下黑洞是如何產生的。想像一顆具有十倍太陽質量的恆星。在它的大約十億年壽命的大部分時間裡，該恆星在其中心把氫轉化成氦而產生熱。釋放出的能量會產生足夠的壓力，以支持該恆星去抵抗自身的引力，這就產生了半徑約為太陽半徑五倍的物體。從這種恆星表面的逃逸速度大約是每秒一千公里。也就是說，一個以小於每秒一千公里的速度從該恆星表面點火垂直上升的物體，會被恆星的引力場拖曳回到表面上來，而具有更大速度的物體會逃逸到無窮遠去。
當恆星耗盡其核能，那就沒有東西可維持其向外的壓力，恆星就由於自身的引力開始坍縮。隨著恆星收縮，表面上的引力場就變得越來越強大，而逃逸速度就會增加。當它的半徑縮小到三十公里，其逃逸速度就增加到每秒三十萬公里，也就是光的速度。從此以後，任何從該恆星發出的光都不能逃逸到無窮遠，而只能被引力場拖曳回來。根據狹義相對論，沒有東西可能比光旅行得更迅速。這樣，如果光都不能逃逸，別的東西就更不可能。
其結果就是一顆黑洞：這是時空的一個區域，從這個區域不可能逃逸到無窮遠。黑洞的邊界被稱作事件視界。它對應於從恆星發出的剛好不能逃逸到無窮遠的，而只能停留在施瓦茲席爾德半徑處徘徊的光線的波前。施瓦茲席爾德半徑為2GM／√c，這裡G是牛頓引力常數，M是恆星質量，而c是光速。對於具有大約十倍太陽質量的恆星，其施瓦茲席爾德半徑大約為二十公里。
現在有了相當好的觀測證據暗示，在諸如稱為天鵝X－1的雙星系統中存在大約這個尺度的黑洞。也許還有相當數目的比這小得多的黑洞散落在宇宙之中。它們不是由恆星坍縮形成的，而是在熾熱的高密度的介質的被高度壓縮區域的坍縮中產生的。人們相信在宇宙啟始的大爆炸之後不久存在這樣的介質。這種「太初」黑洞對我將在這裡描述的量子效應具有最大的興趣。一顆重十億噸(大約一座山的質量)的黑洞具有10-13厘米的半徑(一顆中子或質子的尺度)。它也許正繞著太陽或者繞著銀河系中心公轉。
1970年的數學發現是在黑洞和熱力學之間可能有聯接的第一個暗示。它是說事件視界，也就是黑洞邊界的表面積具有這樣的性質，當附加的物質或者輻射落進黑洞時它總是增加。此外，如果兩顆黑洞碰撞並且合併成一顆單獨的黑洞，圍繞形成黑洞的事件視界的面積比分別圍繞原先兩顆黑洞的事件視界的面積的和更大。這些性質暗示，在一顆黑洞的事件視界面積和熱力學的熵概念之間存在一種類似。熵可被認為是系統的無序度，或等價地講是對它精確狀態的知識的缺失。熱力學著名的第二定律說，熵總是隨時間而增加。
華盛頓大學的詹姆斯-巴丁，現在任職於莫爾頓天文台的布蘭登-卡特和我推廣了黑洞性質和熱力學定律之間的相似性。熱力學第一定律說，一個系統的熵的微小改變是伴隨著該系統的能量的成比例的改變。這個比例因子被叫做系統的溫度。巴丁、卡特和我發現了把黑洞質量改變和事件視界面積改變相聯繫的一個類似的定律。這裡的比例常數牽涉到稱為表面引力的一個量，它是引力場在事件視界的強度的測度。如果人們接受事件視界的面積和熵相類似，那麼表面引力似乎就和溫度相類似。可以證明，在事件視界上所有點的表面引力都是相等的，正如同處於熱平衡的物體上的所有地方具有相同的溫度。這個事實更加強了這種類比。
雖然在熵和事件視界面積之間很明顯地存在著相似性，對於我們來說，如何把面積認定為黑洞的熵仍然不是顯然的。黑洞的熵是什麼含義呢？1972年雅各布-伯肯斯坦提出了關鍵的建議。他那時是普林斯頓大學的一名研究生，現在任職於以色列的涅吉夫大學。可以這麼進行論證。由於引力坍縮而形成一顆黑洞，這顆黑洞迅速地趨向於一種穩定態，這種態只由三個參數來表徵：質量、角動量和電荷。這個結論即是著名的「黑洞無毛定理」。它是由卡特、阿爾伯特大學的外奈-伊斯雷爾、倫敦國王學院的大衛-C-羅賓遜和我共同證明的。
無毛定理表明，在引力坍縮中大量的信息被損失了。例如，最後的黑洞和坍縮物體是否由物質或者反物質組成，以及它在形狀上是球形的還是高度不規則的都沒有關係。換言之，一顆給定質量、角動量以及電荷的黑洞可由物質的大量不同形態中的任何一種坍縮形成。的確，如果忽略量子效應的話，由於黑洞可由無限大數目的具有無限小質量的粒子雲的坍縮形成，所以形態的數目是無限的。
然而，量子力學的不確定性原理表明，一顆質量為m的粒子的行為正像一束波長為h／mc的波，這裡h是普郎克常數(一個值為6.62-10-27爾格-秒的小數)，而c是光速。為了使一堆粒子雲能夠坍縮形成一顆黑洞，該波長似乎必須比它所形成黑洞的尺度更小。這樣，能夠形成給定質量、角動量和電荷的黑洞的形態數目雖然非常巨大，卻可以是有限的。伯肯斯坦建議說，人們可把這個數的對數解釋成黑洞的熵。這個數目的對數是在黑洞誕生時在通過事件視界坍縮之際的不可挽回的信息喪失的量的測度。
伯肯斯坦的建議中含有一個致命的毛病，如果黑洞具有和它的事件視界面積成比例的熵，它就還應該具有有限的溫度，該溫度必須和它的表面引力成比例。這就意味著黑洞能和具有不為零溫度的熱輻射處於平衡。然而，根據經典概念，黑洞會吸收落到它上面的任何熱輻射，而不能發射任何東西作為回報，所以這樣的平衡是不可能的。
直到1974年初，當我根據量子力學研究物質在黑洞鄰近的行為時，這個迷惑才得到解決。我非常驚訝地發現，黑洞似乎以恆定的速率發射出粒子。正如那時候的任何其他人一樣，我接受黑洞不能發射任何東西的正統說法。所以我花了相當大的努力試圖擺脫這個令人難堪的效應。它拒不退卻，所以我最終只好接受之。最後使我信服它是一個真正的物理過程的是，飛出的粒子具有準確的熱譜，黑洞正如同通常的熱體那樣產生和發射粒子，這熱體的溫度和黑洞的表面引力成比例並且和質量成反比。這就使得柏肯斯坦關於黑洞具有有限的熵的建議完全協調，因為它意味著能以某個不為零的溫度處於熱平衡。
從此以後，其他許多人用各種不同的方法確證了黑洞能熱發射的數學證據。以下便是理解這種輻射的一種方法。量子力學表明，整個空間充滿了「虛的」粒子反粒子對，它們不斷地成對產生、分開，然而又聚到一塊並互相湮滅。因為這些粒子不像「實的」粒子那樣，不能用粒子加速器直接觀測到，所以被稱作虛的。儘管如此，可以測量到它們的間接效應。由它們在受激氫原子發射的光譜上產生的很小位移(藍姆位移)證實了虛粒子的存在。現在，在黑洞存在的情形，虛粒子對中的一個成員可以落到黑洞中去，留下來的另一個成員就失去可以與之相湮滅的配偶。這被背棄的粒子或者反粒子，可以跟隨其配偶落到黑洞中去，但是它也可以逃逸到無窮遠去，在那裡作為從黑洞發射出的輻射而出現。
另一種看待這個過程的方法是，把落到黑洞中去的粒子對的成員，譬如講反粒子，考慮成真正地在向時間的過去方向旅行的一顆粒子。這樣，這顆落入黑洞的反粒子可被認為是從黑洞跑出來但向時間過去旅行的一顆粒子。當該粒子到達原先該粒子反粒子對產生的地方，它就被引力場散射，這樣就使它在時間前進的方向旅行。
因此，量子力學允許粒子從黑洞中逃逸出來，這是經典力學不允許的事。然而，在原子和核子物理學中存在許多其他的場合，有一些按照經典原理粒子不能逾越的壁壘，按照量子力學原理的隧道效應可讓粒子通過。
圍繞一顆黑洞的壁壘厚度和黑洞的尺度成比例。這表明非常少粒子能從一顆像假想在天鵝X－1中存在的那麼大的黑洞中逃逸出來，但是粒子可以從更小的黑洞迅速地漏出來。仔細的計算表明，發射出的粒子具有一個熱譜，其溫度隨著黑洞質量的減小而迅速增高。對於一顆太陽質量的黑洞，其溫度大約只有絕對溫度的千萬分之一度。宇宙中的輻射的一般背景把從黑洞出來具有那種溫度的熱輻射完全淹沒了。另一方面，質量只有十億噸的黑洞，也就是尺度大約和質子差不多的太初黑洞，會有大約一千二百億度開文芬的溫度，這相當於一千萬電子伏的能量。處於這等溫度下的黑洞會產生電子正電子對以及諸如光子、中微子和引力子(引力能量的假想的攜帶者)的零質量粒子。太初黑洞以六十億瓦的速率釋放能量，這相當於六個大型核電廠的輸出。
隨著黑洞發射粒子，它的質量和尺度就穩恆地減小。這使得更多粒子更容易穿透出來，這樣發射就以不斷增加的速度繼續下去，直到黑洞最終把自己發射殆盡。從長遠地看，宇宙中的每個黑洞都將以這個方法蒸發掉。然而對於大的黑洞它需要的時間實在是太長了，具有太陽質量的黑洞會存活10↑66年左右。另一方面，太初黑洞應在大爆炸迄今的一百億年間幾乎完全蒸發光，正如我們所知的，大爆炸是宇宙的起始。這種黑洞現在應發射出能量大約為一億電子伏的硬伽瑪射線。
當-佩奇和我在SAS－2衛星測量伽瑪輻射宇宙背景的基礎上計算出，宇宙中的太初黑洞的平均密度必須小於大約每立方光年兩百顆。那時當-佩奇是在加州理工學院。如果太初黑洞集中於星系的「暈」中，它在銀河系中的局部密度可以比這個數目高一百萬倍，而不是在整個宇宙中均勻地分佈。暈是每個星系都要嵌在其中的稀薄的快速運動恆星的薄雲。這意味著最鄰近地球的太初黑洞可能至少在冥王星那麼遠。
黑洞蒸發的最後階段會進行得如此快速，以至於它會在一次極其猛烈的爆發中終結。這個爆發的激烈程度依存於有多少不同種類的基本粒子而定。如果正如現在廣為相信的，所有粒子都是由也許六種不同的夸克構成，則最終的爆炸會具有和大約一千萬顆百萬噸氫彈相等的能量。另一方面，日內瓦歐洲核子中心的H-哈格登提出了另一種理論。他論斷道，存在質量越來越大的無限數目的基本粒子。隨著黑洞變得越小越熱，它就會發射出越來越多不同種類的粒子，也許會產生比按照夸克假定計算的能量大1
0倍的爆炸。因此，觀測黑洞爆發可為基本粒子物理提供非常重要的信息，這也許是用任何其他方式不能得到的信息。
一次黑洞爆發會傾注出大量的高能伽瑪射線。雖然可以用衛星或者氣球上的伽瑪射線探測器觀測它們，但要送上一台足夠大的探測器，使之有相當的機會攔截到來自於一次爆炸的不少數量的伽瑪射線光子，是很困難的。使用航天飛機在軌道上建立一個大的伽瑪射線探測器是一種可能性。把地球的上層大氣當成一台探測器是另外一種更容易也更便宜的做法。穿透到大氣的高能伽瑪射線會產生電子正電子爆，它們在大氣中旅行的初速度比大氣中的光速還快。(光由於和空氣分子相互作用而減慢下來。)這樣，電子和正電子將建立起一種音爆，或者是電磁場中的衝擊波。這種衝擊波叫作切倫科夫輻射，可以可見光閃爍的形式從地面上觀測到它。
都柏林大學學院的奈爾-A-波特和特勒伏-C-威克斯的一個初步實驗指出，如果黑洞按照哈格登理論預言的方式爆炸，則在銀河系的我們區域中只有少於每世紀每立方光年兩次的黑洞爆發。這表明太初黑洞的密度小於每立方光年一億顆。我們有可能極大地提高這類觀測的靈敏度。即便它們沒有得到太初黑洞的任何肯定的證據，它們仍然是非常有價值的。觀測結果在這種黑洞的密度上設下一個低的高限，表明早期宇宙必須是光滑和安寧的。
大爆炸和黑洞爆炸相類似，只不過是在一個極大的尺度範圍內而已。所以人們希望，理解黑洞如何創生粒子將導致類似地理解大爆炸如何創生宇宙中的萬物。在一顆黑洞中，物質坍縮並且永遠地損失掉，但是新物質在該處創生。所以事情也許是這樣的，存在宇宙更早的一個相，物質在大爆炸處坍縮並且重新創生出來。
如果坍縮並形成黑洞的物質具有淨電荷，則產生的黑洞將攜帶同樣的電荷。這意味著該黑洞喜歡吸引虛粒子反粒子對中帶相反電荷的那個成員，而排斥帶相同電荷的成員。因此，黑洞優先地發射和它同性的帶電粒子，並且從而迅速地喪失其電荷。類似地，如果坍縮物質具有淨角動量，產生的黑洞便是旋轉的，並且優先地發射攜帶走它角動量的粒子。由於坍縮物質的電荷、角動量和質量和長程場相耦合：在電荷的情形和電磁場耦合，在角動量和質量的情形和引力場耦合，所以黑洞「記住」了這些參數，而「忘記」了其他的一切。
普林斯頓大學的羅伯特-H-狄克和莫斯科國立大學的弗拉基米爾-布拉津斯基進行的實驗指出，不存在和命名為重子數的量子性質相關的長程場。(重子是包括質子和中子在內的粒子族。)因此由一群重子坍縮形成的黑洞會忘掉它的重子數，並且發射出等量的重子和反重子。所以，當黑洞消失時，它就違反了粒子物理的最珍貴定律之一，重子守恆定律。
雖然為了和伯肯斯坦關於黑洞具有有限熵的假設協調，黑洞必須以熱的方式輻射，但是粒子產生的仔細量子力學計算引起帶有熱譜的發射，初看起來似乎完全是一樁奇跡。這可以解釋成，發射的粒子從黑洞的一個外界觀測者除了它的質量、角動量和電荷之外對之毫無所知的區域穿透出來。這意味著具有相同能量、角動量和電荷的發射粒子的所有組合或形態都是同等可能的。的確，黑洞可能發射出一台電視機或者十卷皮面包裝的蒲魯斯特[16]全集，但是對應於這些古怪可能性的粒子形態的數目極端接近於零。迄今最大數目的形態是對應於幾乎具有熱譜的發射。
[16]譯者註：蒲魯斯特(MarcelProust)是法國上世紀和本世紀之交的小說家。
黑洞發射具有超越通常和量子力學相關的額外的不確定性或不可預言性。在經典力學中人們既可以預言粒子位置，又可以預言粒子速度的測量結果。量子力學的不確定性原理講，只能預言這些測量中的一個，觀察者能預言要麼位置要麼速度的測量結果，不能同時預言兩者。或者他能預言位置和速度的一個組合的測量結果。這樣，觀察者作明確預言的能力實際上被減半了。有了黑洞情形就變得更壞。由於被黑洞發射出的粒子來自於觀察者只有非常有限知識的區域，他不能明確預言粒子的位置或者速度或者兩者的任何組合，他所能預言的一切是某些粒子被發射的概率。所以這樣看來，愛國斯坦在說「上帝不玩弄骰子」時，他是雙重地錯了。考慮到從黑洞發射粒子，似乎暗示著上帝不僅玩弄骰子，而且有時把它們扔到看不見的地方去。